高中一年级数学必修重点汇总

时间:2022-02-14 作者:好尴尬给哥哥 来源:分数网

高一数学知识总结必修一一、集合

一、集合有关概念


1.      集合的含义


2.      集合的中元素的三个特性:


(1)元素的确定性如:世界上最高的山


(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}


(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合


3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}


(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}


(2)集合的表示方法:列举法与描述法。


u      注意:常用数集及其记法:


非负整数集(即自然数集) 记作:N


正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R


1)列举法:{a,b,c……}


2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}


3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}


4)Venn图:


4、集合的分类:


(1)有限集   含有有限个元素的集合


(2)无限集   含有无限个元素的集合


(3)空集     不含任何元素的集合  例:{x|x2=-5}


 


二、集合间的基本关系


1.“包含”关系—子集


注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。


反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A


2.“相等”关系:A=B  (5≥5,且5≤5,则5=5)


实例:设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”


即:① 任何一个集合是它本身的子集。AíA


②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)


③如果 AíB, BíC ,那么 AíC


④ 如果AíB  同时 BíA 那么A=B


3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ


规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。


u      有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

 二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题——一题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)指数函数对称规律:1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称&对数函数y=loga^x

如果 ,且 , , ,那么:


1 · + ;


2 - ;


3    .


注意:换底公式


  ( ,且 ; ,且 ; ).

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.


2、幂函数性质归纳.


(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);


(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;


(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

 

方程的根与函数的零点


1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。


2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。


即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.


3、函数零点的求法:


1 (代数法)求方程 的实数根;


2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.


4、二次函数的零点:


二次函数 .


(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.


(2)△=0,方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.三、平面向量

向量:既有大小,又有方向的量.


数量:只有大小,没有方向的量.


有向线段的三要素:起点、方向、长度.


零向量:长度为 的向量.


单位向量:长度等于 个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ μ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法 

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:





































































     





图象





定义域





值域





最值


当 时, ;当   


时, .


当 时,     


;当


时, .


既无最大值也无最小值


周期性





奇偶性


奇函数


偶函数


奇函数


单调性



上是增函数;在



上是减函数.


在 上是增函数;在


上是减函数.



上是增函数.


对称性


对称中心


对称轴


对称中心


对称轴


对称中心


无对称轴

 

必修四


角 的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.


第一象限角的集合为


第二象限角的集合为


第三象限角的集合为


第四象限角的集合为


终边在 轴上的角的集合为


终边在 轴上的角的集合为


终边在坐标轴上的角的集合为


3、与角 终边相同的角的集合为


4、已知 是第几象限角,确定 所在象限的方法:先把各象限均分 等份,再从 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域.


5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度.


口诀:奇变偶不变,符号看象限.


 


公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα

公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα

公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα

公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα

公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)


其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα=1
sinα ?cscα=1
cosα ?secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)


两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα ?tanβ

tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα ?tanβ


倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(α)


半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

1-cosα
sin^2(α/2)=—————
2

1+cosα
cos^2(α/2)=—————
2

1-cosα
tan^2(α/2)=—————
1+cosα


万能公式

⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan^2(α/2)

1-tan^2(α/2)
cosα=——————
1+tan^2(α/2)

2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan^2(α/2)


和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—----?cos—---
2 2

α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—----?sin—----
2 2

α+β α-β
cosα+cosβ=2cos—-----?cos—-----
2 2

α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—-----?sin—-----
2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ?sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ?cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ?sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]






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